Question

（2010•雅安）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为A（-2，0），B（1，0），
C（0，-2

3

）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和顶点D的坐标．
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD最小，求出该最小值．
（3）在第三象限中，是否存在点M，使AC为等腰△ACM的一边，且底角为30°？如果存在，请说出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式求解即可，根据抛物线的顶点坐标公式代入数据进行计算即可求出顶点D的坐标；
（2）根据最短路线问题，先找出点A关于y轴的对称点A′，然后连接A′D交y轴于点P，则A′D=PA+PD，设对称轴与x轴相交于点E，根据顶点坐标求出点E的坐标，再求出A′E与ED的长度，然后利用勾股定理列式求出A′D的长度，从而得解；
（3）连接AC，利用解直角三角形可以求出∠ACO=30°，过点A作直线l∥y轴，可得点M一定在直线l上，然后分AC是腰长与底边长两种情况求出AM的长度，再根据点M在第三象限写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过A（-2，0），B（1，0），C（0，-2

3

）三点，
∴

4a-2b+c=0 a+b+c=0 c=-2 3

，
解得

a= 3 b= 3 c=-2 3

，
∴抛物线解析式为y=

3

x²+

3

x-2

3

，
-

b

2a

=-

3

2× 3

=-

1

2

，

4ac-b2

4a

=

4× 3 ×(-2 3 )-( 3 )2

4× 3

=-

9

4

3

，
所以，顶点D的坐标为（-

1

2

，-

9

4

3

）；

（2）设点A关于y轴的对称点为A′，
∵A（-2，0），
∴A′（2，0），
连接A′D交y轴于点P，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，
∵顶点D的坐标为（-

1

2

，-

9

4

3

），
∴点E的坐标为（-

1

2

，0），
∴|A′E|=|2-（-

1

2

）|=

5

2

，|ED|=

9

4

3

，
∴PA+PD=PA′+PD=A′D=

A′E2+ED2

=

( 5 2 )2+( 9 3 4 )2

=

7

4

7

，
所以，PA+PD的最小值为

7

4

7

；

（3）存在．
理由如下：连接AC，在Rt△AOC中，tan∠ACO=

AO

CO

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
过点A作直线l∥y轴，已知点M在第三象限，可得点M在直线l上，
①以AC为腰时，根据等腰三角形三线合一的性质，AM=2CO=2×2

3

=4

3

，
所以，点M的坐标为（-2，-4

3

），
②以AC为底边时，根据勾股定理可得AC=

AO2+CO2

=

22+(2 3 )2

=4，
AM=（

1

2

AC）÷cos30°=2÷

3

2

=2×

2 3

3

=

4 3

3

，
所以，点M的坐标为（-2，-

4 3

3

），
综上所述，存在点M的坐标为（-2，-4

3

），（-2，-

4 3

3

）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要有待定系数法求二次函数解析式，顶点坐标公式，利用轴对称确定最短距离，以及等腰三角形的性质，综合性较强，（3）根据数据恰好求出∠ACO=30°设计巧妙，注意分AC是腰长与底边长两种情况讨论求解．