Question

在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）求证：AD+AB=AC；
（3）把题中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，且DC=BC，如图2，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用AAS即可证明两三角形全等；
（2）根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AC=2AD，AC=2AB，从而证明；
（3）在AN上截取AE=AC，连接CE，证明△ADC≌△EBC，则AB+AD=AB+BE=AE，然后证明△CAE为等边三角形，则AD+AB=AC．

解答：证明：（1）∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN．
∴∠DAC=∠BAC=60
∵在△ACD和△ACB中，

∠DAC=∠BAC ∠ABC=∠ADC AC=AC

，
∴△ACD≌△ACB （AAS）

（2）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AD=2AB
∴AD=AB
∴AD+AB=AC．

（3）（1）中的结论AD+AB=AC成立，
理由如下：如图2，在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵在△ADC和△EBC中，

∠DAC=∠BAC ∠ADC=∠EBC AE=AC

，
∴△ADC≌△EBC
∵∠BAC=60°，
∴DA=BE
∴△CAE为等边三角形，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∴AD+AB=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键．