Question

已知⊙O中弦AB、CD相交于点P，PO平分∠APD，则下列结论中不正确的是（　　）

• A、AB=CD
• B、

  AC

  =

  BD

• C、PA=PD
• D、

  AC

  =

  BC

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，如图，连结OA、OD，根据垂径定理得AE=BE，CF=DF，再根据角平分线定理得OE=OF，于是利用“HL”可证明Rt△AOE≌Rt△DOF，Rt△POE≌Rt△POF，得到AE=DF，PE=PF，易得AB=CD，PA=PD，则可对A选项和C选项进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系有AB=CD得

AB

=

CD

，易得

AC

=

BD

，则可对B选项和D选项进行判断．

解答：解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，如图，连结OA、OD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∵PO平分∠APD，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△DOF中，

OE=OF OA=OD

，
∴Rt△AOE≌Rt△DOF，
∴AE=DF，
∴AB=CD，所以A选项的结论正确；
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

-

BC

=

CD

-

BC

，
即

AC

=

BD

，所以B选项的结论正确，D选项的结论错误；
在Rt△POE和Rt△POF中，

OE=OF PO=PO

，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴AE+PE=DF+PF，
即PA=PD，所以C选项的结论错误．
故选D．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了角平分线定理、垂径定理和三角形全等的判定与性质．