Question

17．如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，再因为MA⊥AN，NC⊥BC可得∠BAM=∠DCN，利用ASA定理可证得结论；
（2）利用菱形的性质可得AC⊥EF，由全等三角形的性质可得AE=CF，由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠BAM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴AM∥CN，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定定理，综合运用各定理是解答此题的关键．