Question

已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（2，0）、B（3，-3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点Q（m，n）（0≤m≤2）是抛物线y=ax²+bx上一点，当△OBQ的面积为3时，求Q点的坐标；
（3）如图（2），若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P，使得△POQ∽△NOB？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（2，0）、B（3，-3）两点代入抛物线y=ax²+bx，组成二元一次方程组，求出a、b即可；
（2）首先求出过O、B的函数解析式，过Q点作QS⊥x轴，交NB与点S，表示出点S的坐标，利用面积和表示出△OBQ的面积，建立方程，求出m的值即可；
（3）综合利用几何变换和相似关系求解．
方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．

解答：解：（1）把A（2，0）、B（3，-3）两点代入抛物线y=ax²+bx，得，

4a+2b=0 9a+3b=-3

，
解得

a=-1 b=2

，
∴y=-x²+2x；  

（2）如图1，

过O、B的函数解析式为y_OB=-x，
则S的坐标为（m，-m）
当△OBQ的面积为3时，可得

1

2

m（n+m）+

1

2

（n+m）（3-m）=3，
m+n=2，
因为n=-m²+2m，
解方程组得Q₁（1，1），Q₂（2，0）；

（3）如图2

∵y_OB=-x，
说明OB是∠AOD的角平分线，
∠AOB=∠DOB，∠NBO=∠ABO，OB=OB，
∴△AOB≌△DOB，
则点D坐标为（0，-2）
直线BN为：y=-

1

3

x-2，与y=-x²+2x，
解得N（-

2

3

，-

16

9

)
①当Q点为（1，1）时，把△NOB沿直线x轴对称得△N′OB′得，N′（-

2

3

，

16

9

)，
要使△POQ∽△NOB，
过点Q作QP∥N′B′，
过N′、B′的函数解析式为y_N′B′=

1

3

x+2，
则过Q、P的函数解析式为y_QP=

1

3

x+

2

3

，
过ON′的函数解析式为y=-

8

3

x，
联立方程得P₁（-

2

9

，

16

27

)，
由关于y=x对称P₂为（

16

27

，-

2

9

）；
②当Q点为（2，0）时，如图2①，

把△OBN绕点O旋转到△OB″N″的位置；
由S_△BON=

1

2

×2×（3+

2

3

）=

11

3

，
OB=3

2

，
设点N″为（x，y）；
则S_△OB″N″=

1

2

×3

2

×y=

11

3

面积法可求得N″（

5 2

9

，-

11 2

9

)，
作QP∥N″B″，
由相似性质得P₃（

10

27

，-

22

27

)，由对称得P₄（

10

27

，

22

27

)
所以符合条件的点P是：P₁（-

2

9

，

16

27

)，P₂（

16

27

，-

2

9

)，P₃（

10

27

，-

22

27

)，P₄（

10

27

，

22

27

)．

点评：此题综合考查求二次函数解析式，关于直线y=-x和y=x的对称点的坐标特点，相似三角形的判定等知识，是一道比较难的题目．