Question

18．如图，已知∠XOY=90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．试问∠ACB的大小是否变化？若不变，请给出证明，若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围．

Answer 1

分析 首先判断出∠ACB不变，然后给出证明，根据题目中的信息不难发现，∠ABY与∠BOA和∠BAO的关系，又由BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，可知∠ABY与∠BAC∠BCA的关系，从而得到∠ACB的大小是否变化．

解答 解：∠ACB的大小不变．
证明：∵∠ABY 为△AOB 的一个外角，
∴∠ABY=90°+∠OAB．
又∵BE 为∠ABY 的平分线，
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABY=\frac{1}{2}（{90}^{°}+∠OAB）$
∴$∠ABE={45}^{°}+\frac{∠OAB}{2}$
∵AC 是∠OAB 的平分线，
∴$∠BAC=\frac{1}{2}∠OAB$．
∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴$∠C=∠ABE-∠CAB={45}^{°}+\frac{1}{2}∠OAB-\frac{1}{2}∠OAB$=45°．
即∠ACB的大小不变．

点评 本题考查三角形的外角，角平分线的相关知识，关键是弄清外角和内角的关系，进行灵活变化，从而解答本题．