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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E,且⊙O与直线BD刚好相切.
(1)试证:∠CBD=∠A;
(2)若cosA=
2
5
5
,BD=2
5
,试计算⊙O的面积.
(1)证明:连OD,如图,
∴∠A=∠ADO,
∵直线BD与⊙O相切,
∴OD⊥BD,
∴∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠BDC=90°,
又∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°,
∴∠CBD=∠ADO,
∴∠CBD=∠A;
(2)连DE,cosA=cos∠CBD=
2
5
5

在Rt△DCB,cosA=
2
5
5
,BD=2
5

∴cos∠CBD=
BC
DB

∴BC=
2
5
5
×2
5
=4,
∴DC=
BD2-BC2
=2,
∵AE为直径,
∴∠ADE=90°,
在Rt△ABC中,设⊙O的半径为r,
∴cosA=
AD
AE
=
2
5
5

∴AD=2r•
2
5
5
=
4
5
5
r,
∴DE=
2
5
5
r,
∵DEBC,
∴DE:BC=AD:AC,即
2
5
5
r:4=
4
5
5
r:(
4
5
5
r+2),
∴r=
3
5
2

∴⊙O的面积=π•(
3
5
2
2=
45
4
π.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,且BC=2.以CD为直径作⊙O′交AD于点E,过点E作EF⊥AB于点F.建立如图所示的平面直角坐标系,已知A、B两点坐标分别为A(2,0)、B(0,2
3
).
(1)求C、D两点的坐标;
(2)求证:EF为⊙O′的切线;
(3)将梯形ABCD绕点A旋转180°到A′B′C′D′,直线CD上是否存在点P,使以点P为圆心,PD为半径的⊙P与直线C′D′相切?如果存在,请求出P点坐标;如果不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,线段AB与⊙O相切于点C,连接OA,OB,已知OA=OB=5cm,AB=8cm,求⊙O的半径.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是______(结果保留准确值).

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,过B、D、E三点作⊙O.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,若BC=9,CA=12.求
EF
AC
的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

(人教版)已知:如图,AB=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交OC于点D,AD的延长线交BC于点E,过D作⊙O的切线交BC于点F.下列结论:①CD2=CE•CB;②4EF2=ED•EA;③∠OCB=∠EAB;④DF=
1
2
CD.其中正确的有(  )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F,若AD=20,则△ABC的周长为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,PA、PB切⊙O于点A、B,点C是⊙O上一点,且∠ACB=65°,则∠P等于(  )
A.65°B.130°C.50°D.45°

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.

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