精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,)和(m-b,m2-mb+n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.

(1)求c的值;

(2)设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是(x1,0)和(x2,0),求x1x2的值;

(3)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(xo,yo ),求这时|yo|的最小值.

 

解:

(1)∵(0,)在y=ax2+bx+c上,∴ =a×02+b×0+c, ∴ c=.(1分)

(2)又可得 n=.

∵ 点(m-b,m2-mb+n)在y=ax2+bx+c上,

∴ m2-mb=a(m-b)2+b(m-b)

∴(a-1)(m-b)2=0, (2分)

若(m-b)=0,则(m-b, m2-mb+n)与(0,)重合,与题意不合.

∴ a=1.(3分,只要求出a=1,即评3分)

∴抛物线y=ax2+bx+c,就是y=x2+bx

△=b2-4ac=b2-4×()>0,(没写出不扣分)

∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0=ax2+bx+c的两个实数根,∴由根与系数的关系,得x1x2. (4分)

(3)抛物线y=x2+bx的对称轴为x=,最小值为. (没写出不扣分)

设抛物线y=x2+bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h.

①当<-1,即b>2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,yo),

∴|H|=yo+b>,   (5分)

在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1,yo),

∴|h|=|yo|=|-b|=b-, (6分) 

∴|H|>|h|.∴这时|yo|的最小值大于.    (7分)

② 当-1≤≤0,即0≤b≤2时,

在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,yo),

∴|H|=yo+b≥,当b=0时等号成立.

在x轴下方与x轴距离最大点的是 (),

∴|h|=||=,当b=0时等号成立.

∴这时|yo|的最小值等于.    (8分)

③ 当0<≤1,即-2≤b<0时,

在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,yo),

∴|H|=yo=|1+(-1)b|=|-b|=-b>

在x轴下方与x轴距离最大的点是 (),

∴|h|=|yo|=||=.

∴ 这 时 |yo|的 最 小 值 大 于 .  (9分)

④ 当1<,即b<-2时,

在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,yo),∴|H|=-b>,

在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,yo),∴|h|=|+b|=-(b+)>

∴|H|>|h|,∴这时|yo|的最小值大于.     (10分)

综上所述,当b=0,x0=0时,这时|yo|取最小值,为|yo|=.       (11分)

解析:略

 

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线yax2bxc(a>0)经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式.

(2)点D在线段AB上且ADAC,若动点PA出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若存在,请说明理由.

(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐

标;若存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0).
【小题1】填空:抛物线的对称轴为直线x=______,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______;
【小题2】求该抛物线的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线yax2bxc(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(—1,0)、C(0,—3)两点,与x轴交于另一点B
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2012届山东邹城北宿中学九年级3月月考数学试卷(带解析) 题型:解答题

已知抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BD,若点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2010-2011年浙江省嵊州市九年级上学期期末考试数学卷 题型:解答题

(本小题满分14分)

如图,已知抛物线yax2bxcx轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。设抛物线的顶点为D,求解下列问题:

1.(1)求抛物线的解析式和D点的坐标;

2.(2)过点D作DF∥轴,交直线BC于点F,求线段DF的长,并求△BCD的面积;

3.(3)能否在抛物线上找到一点Q,使△BDQ为直角三角形?若能找到,试写出Q点的坐标;若不能,请说明理由。

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案