Question

10．如图，已知AB是⊙O的直径，AT与⊙O相切于点A，⊙O交BT于C，CT=CB．
（1）求证：AB=AT；
（2）OT交⊙O于E，求tan∠ABE的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出AC⊥BT，根据线段垂直平分线性质得出即可；
（2）作OM平分∠TOA，得出$\frac{OT}{OA}$=$\frac{TM}{AM}$，求出∠AOM=∠ABE，设AO=OB=a，则AT=AB=2a，由勾股定理求出OT=$\sqrt{5}$a，求出AM，解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BT，
∵CT=BC，
∴AB=AT；

（2）解：
作OM平分∠TOA，
则$\frac{OT}{OA}$=$\frac{TM}{AM}$，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠AOT=∠OBE+∠OEB=2∠ABE，
∴∠AOM=∠ABE，
设AO=OB=a，则AT=AB=2a，
在Rt△TAO中，由勾股定理得：OT=$\sqrt{5}$a，
则$\frac{\sqrt{5}a}{a}$=$\frac{2a-AM}{AM}$，
解得：AM=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
∴tan∠ABE=tan∠AOM=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、线段垂直平分线性质、勾股定理等知识点，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．