Question

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三遍版DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N
①证明：DM=DN
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）①证明：
连接DB，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，
∴∠MDB=∠CDN，
在△MBD和△NCD中
，
∴△MBD≌△NCD（ASA）
∴DM=DN；
②解：四边形DMBN的面积不发生变化，
由①知：△MBD≌△NCD，
∴S_△MBD=S_△NCD，
∴S_{四边形DMBN}=S_△DMB+S_△BDN=S_△CND+S_△BDN=S_△BDC=S_△ABC=×1×1=；

（2）DM=DN仍然成立，
证明：连接DB，
在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
在△CDN和△BDM中
，
∴△CDN≌△BDM（ASA），
∴DM=DN．
分析：（1）①连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可；②根据全等得出△MBD和△NCD的面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，求出即可；
（2）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形性质，三角形斜边上中线性质，三线合一定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，证明过程类似．