Question

如图，AB为半圆0的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙O₁切BD于点E，切CD于点F，切半圆周于点G．求证：
（1）A、F、G三点在一条直线上；
（2）AC=AE．

Answer 1

证明：（1）连AG，FG；再连OO₁，由⊙O₁切半圆周于点G，则其延长线必过G点，如图，
∵⊙O₁切CD于点F，
∴O₁F⊥CD，
而CD⊥AB于D，
∴O₁F∥AB，
∴∠FO₁G=∠AOG，
而△OAG和△O₁FG都是等腰三角形，
∴∠AGO=∠FGO₁，
∴A、F、G三点在一条直线上；

（2）连BC，BG，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∴Rt△ADF∽Rt△AGB，
∴AD：AG=AF：AB，
即AD•AB=AF•AG，
又∵⊙O₁切BD于点E，
∴AE²=AF•AG，
∴AE²=AD•AB，
又∵AC²=AD•AB，
∴AC=AE．
分析：（1）连AG，FG；再连OO₁，由⊙O₁切半圆周于点G，则其延长线必过G点，根据切线的性质得O₁F⊥CD，得到O₁F∥AB，则∠FO₁G=∠AOG，根据等腰三角形的性质得到∠AGO=∠FGO₁，于是判断A、F、G三点在一条直线上；
（2）连BC，BG，由圆周角定理的推论得到∠AGB=90°，易证Rt△ADF∽Rt△AGB，得到AD•AB=AF•AG，再根据切割线定理和射影定理分别得到AE²=AD•AB，AC²=AD•AB，
即可得到AC=AE．
点评：本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角；也考查了三角形相似的判定与性质以及切割线定理和射影定理．