Question

9．如图，已知平行四边形ABCD，AD=5，A（-3，0），B（6，0），点D在y轴的正半轴上，动点P从点A出发，沿A-D-O的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q同时从点C出发，沿C-D以每秒1个单位的速度匀速运动，过动点Q的直线L始终与 x轴垂直且与折线CBO交于点M，点P、Q中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止．当△PMQ为等腰三角形时，t（t≥5）的值为5s或7s或（9-2$\sqrt{2}$）s．

Answer 1

分析 在Rt△ADO中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，当t=5时，P与D重合，点M在AB上，DQ=9-5=4，QM=OD=4，此时PQ=QM，∴△PQM是等腰三角形，当点P在OD上时，再分三种情形解决问题即可．

解答 解：在Rt△ADO中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
当t=5时，P与D重合，点M在AB上，DQ=9-5=4，QM=OD=4，
∴此时PQ=QM，∴△PQM是等腰三角形，
①当PQ=PM时，易知DP=PO=2，∴t=7时，△PQM是等腰三角形．
②当PM=QM=4时，$\sqrt{2}$（9-t）=4，解得t=9-2$\sqrt{2}$．
③当PQ=PM时，（9-t）²+（t-5）²=4²，方程无解．
综上所述，当t=5s或7s或（9-2$\sqrt{2}$）s时，△PMQ是等腰三角形．
故答案为5s或7s或（9-2$\sqrt{2}$）s

点评 本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．