Question

如图，已知直线l₁：y=-x+2与l₂：，过直线l₁与x轴的交点P₁作x轴的垂线交l₂于Q₁，过Q₁作x轴的平行线交l₁于P₂，再过P₂作x轴的垂线交l₂于Q₂，过Q₂作x轴的平行线交l₁于P₃，…，这样一直作下去，可在直线l₁上继续得到点P₄，P₅，…，P_n，…．设点P_n的横坐标为x_n，则x₂=________，x_n+1与x_n的数量关系是________．

Answer 1

    x_n+2x_n+1=3
分析：令y=0求出点P₁的坐标，再根据点Q₁与P₁的横坐标相同求出点Q₁的坐标，根据Q₁、P₂的纵坐标相同求出点P₂的坐标，然后求出Q₂、P₃的坐标，然后根据变化规律解答即可．
解答：令y=0，则-x+2=0，
解得x=2，
所以，P₁（2，0），
∵P₁Q₁⊥x轴，
∴点Q₁与P₁的横坐标相同，
∴点Q₁的纵坐标为×2+=，
∴点Q₁的坐标为（2，），
∵P₂Q₁∥x轴，
∴点P₂与Q₁的纵横坐标相同，
∴-x+2=，
解得x=，
所以，点P₂（，），
∵P₂Q₂⊥x轴，
∴点Q₂与P₂的横坐标相同，
∴点Q₂的纵坐标为×+=，
∴点Q₂的坐标为（，），
∵P₃Q₂∥x轴，
∴点P₃与Q₂的纵横坐标相同，
∴-x+2=，
解得x=，
所以，点P₃（，），
…，
∵P₁（2，0），P₂（，），P₃（，），
∴x₂=，2+2×=3，+2×=3，
∴x_n+2x_n+1=3．
故答案为：；x_n+2x_n+1=3．
点评：本题考查了两直线相交的问题，根据题意分别求出各个点的坐标是解题的关键．