Question

已知二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）设经过B、C、D三点的圆的圆心为O′，设⊙O′与x轴的另一个交点为E，求线段BE的长．

Answer 1

解：（1）∵二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0），
∴二次函数解析式为：y=a（x-1） ²-4，
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函数的关系式为：y=（x-1） ²-4；

（2）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴点B坐标为：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴点C坐标为：（0，-3），
过点D作DM⊥y轴，DN⊥BN，BN∥y轴，
∴CD==，
BD===2，
BC==3，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）连接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直径，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四边形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E点坐标为：（1，0）．
∴BE=2．
分析：（1）由二次函数的顶点坐标以及A点坐标，利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出二次函数与坐标轴交点坐标，进而得出CD，BD，BC的长度，进而得出答案；
（3）利用直角三角形的性质得出四边形OMDE是矩形，进而求出即可．
点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及矩形判定方法和直角三角形判定方法，根据已知得出CD，BD，BC的长度是解题关键．