Question

如图，在ABC中，AP=DP，DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：
①AD平分∠BAC；②△BED≌△FPD；③DP∥AB；④DF是PC的垂直平分线．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：几何图形问题

分析：根据角平分线性质得到AD平分∠BAC，由于题目没有给出能够证明∠C=∠DPF的条件，无法根据全等三角形的判定证明△BED≌△FPD，以及DF是PC的垂直平分线，先根据等腰三角形的性质可得∠PAD=∠ADP，进一步得到∠BAD=∠ADP，再根据平行线的判定可得DP∥AB．

解答：解：∵DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC，故①正确；
由于题目没有给出能够证明∠C=∠DPF的条件，只能得到一个直角和一条边对应相等，故无法根据全等三角形的判定证明△BED≌△FPD，以及DF是PC的垂直平分线，故②④错误；
∵AP=DP，
∴∠PAD=∠ADP，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADP，
∴DP∥AB，故③正确．
故答案为：①③．

点评：考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定，综合性较强，但是难度不大．