Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等腰三角形的两个底角相等，知∠B=∠C；由已知条件“DE⊥AB，DF⊥AC”知∠BED=∠CFD=90°；再根据“D为BC边的中点”求得BD=CD；最后根据全等三角形的判定定理ASA判定△BED≌△CFD；
（2）根据已知条件“∠A=90°、DE⊥AB、DF⊥AC”判定∠BED=∠CFD=∠A=90°，所以四边形DFAE为矩形；然后根据（1）的结论，由全等三角形的对应边相等求得DE=DF，从而证明四边形DFAE为正方形．
解答：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°（1分）
∵D是BC的中点，
∴BD=CD（2分）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDB=∠FDC，
∴△BED≌△CFD（3分）

（2）解：∵∠BED=∠CFD=∠A=90°
∴四边形DFAE为矩形．（4分）
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，（5分）
∴四边形DFAE为正方形．（6分）
点评：本题综合考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．解答此题的关键是利用等腰三角形的两个底角相等，从而证明Rt△BED和Rt△CFD中的两个锐角对应相等．