Question

（1）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于A_n，B_n两点，以A_n，B_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是______．
（2）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CD为半径作BD，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程的两根，其中CD＜CE，连接DE交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为______．

Answer 1

解：如图，
（1）因为抛物线与x轴交于A_n，B_n两点，
令y=0得，=0，
即（x-）（x-）=0，
解得x₁=，x₂=，
可令A_n=，B_n=；
则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=+++…+，
=1-+-+-+…+-，
=1-，
=；
故答案为；

（2）连接CF，
∵CD、CE的长为方程x²-2（+1）x+4=0的两根；
∴CE=2，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE==，
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°；
∴DF=DC=×2=1．
连接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等边三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=×1×=，S_扇形FOC==，
S_阴影FEC=S_△DCE-S_△DOF-S_扇形FOC=×2×2--=-，
S_阴影DBC=S_扇形BCD-S_半圆O=-π×1²=π，
∴S_阴影=S_阴影FCE+S_阴影DBC=-+π=+，
故答案为：+．
分析：（1）首先利用因式分解求得抛物线与x轴交于A_n，B_n两点的坐标，代入数值计算解决问题；
（2）首先解方程，求得CD、CE的长，进一步分割图形，利用锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积计算方法求得问题的解．
点评：此题考查解一元二次方程、锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积计算方法以及利用规律解答计算题．