Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的

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？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过原点，可得其表达式可以写成y=ax²+bx，又由直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，利用待定系数法即可求得直线的表达式与点B与C的坐标，继而求得抛物线的表达式；
（2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得AC=CD=OC=

1

2

AD，即可得C点是△AOD的外心；
（3）通过分析可得P为顶点时，S_△OPN面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得sinα的值；
（4）首先过点P作PE⊥x轴于N点，设点P的坐标为（x，-2x²+5x），即可表示出△PON的面积，然后求得△OCN的面积，由△PON的面积等于△OCN面积的

9

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，即可得方程，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax²+bx．
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，得：

2=2k+4 m=k+4

，
解得：

k=-1 m=3

，
∴直线是：y=-x+4，
点B（1，3），C（2，2）代入二次函数的表达式，得：

3=a+b 2=4a+2b

，
解得：

a=-2 b=5

，
∴抛物线的表达式为：y=-2x²+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=

42+42

=4

2

．而OC=2

2

，
∴OC=

1

2

AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通过分析知道，P为顶点时，S_△OPN面积最大．
此时，P（

5

4

，

25

8

），
又∵方程-2x²+5x=0的两根是x₁=0，x₂=

5

2

，即ON=

5

2

．
∴OP=

( 5 4 )2+( 25 8 )2

=

5 29

8

．
∴sinα=

25 8

5 29 8

=

25

8

×

8

5 29

=

5

29

29

，此时△PON有最大面积（底是相同的）．

（4）存在．
理由：过点P作PE⊥x轴于N点，
设点P的坐标为（x，-2x²+5x），
∴S_△OCN=

1

2

ON•PD=

1

2

×

5

2

×（-2x²+5x）=

5

4

（-2x²+5x），
∵S_△OCN=ON×2×

1

2

=ON=

5

2

，
又∵△PON的面积等于△OCN面积的

9

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，
∴

5

4

（-2x²+5x）=

5

2

×

9

16

，
解得：x₁=

1

4

，x₂=

9

4

，
∴当x=

1

4

时，y=

9

8

，
当x=

9

4

时，y=

9

8

，
∴点P的坐标为（

1

4

，

9

8

）或（

9

4

，

9

8

）．

点评：此题考查了一次函数与二次函数的综合应用．此题综合性很强，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，掌握点与函数的关系，圆的外心的定义，三角函数以及三角形面积的求解方法等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用．