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    在⊙O中，半径OB垂直于直径MN，过点B的弦BC交MN于点A，分别连接MB，NB，求证：MB•NB=BA•BC．

    解：连接CN，如图所示：
    由题意得，MB=NB，
    ∴∠MNB=∠BCN．
    ∵∠ABN=∠NBC，
    ∴△ABN∽△NBC．
    ∴=．
    即NB•NB=BA•BC，
    ∵MB=NB，
    ∴MB•NB=BA•BC．
    分析：先证明△ABN∽△NBC，得=，即NB•NB=BA•BC，又因为OB⊥MN，得MB=BN，所以MB•NB=BA•BC．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△内接于⊙，点在的延长线上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求证:是⊙的切线；⑵若,求的长。

    【解析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；

    （2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【答案】14。

    【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．

    【专题】探究型．

    【分析】先由MN＝20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

    【解答】∵MN＝20，

    ∴⊙O的半径＝10，

    连接OA、OB，

    在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，

    ∴OD＝＝＝8；

    同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，

    ∴OC＝＝＝6，

    ∴CD＝8＋6＝14，

    作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，

    在Rt△AB′E中，

    ∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，

    ∴AB′＝＝＝14．

    故答案为：14．

    【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年福建省厦门市翔安区九年级适应性考试数学卷（解析版） 题型：填空题

    如图，△内接于⊙，点在的延长线上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求证:是⊙的切线；⑵若,求的长。

    【解析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；

    （2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．

     

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