Question

如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交边CD于点E．将△BCE绕点C按顺时针方向旋转到△DCF的位置，并且延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）求证：DG是EG和BG的比例中项；
（3）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到△BCE≌△DCF，则BE=DF，∠2=∠1，由BE平分∠DBC得到∠2=∠3，所以∠3=∠1，然后根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由于△BDG∽△DEG，根据相似三角形的性质得DG：EG=BG：DG，即DG²=EG•BG；
（3）利用DG²=EG•BG，可计算出DG=2，由∠2=∠1，∠5=∠4得到∠DGE=∠BCE=90°，则BG⊥DF，由于BE平分∠DBC，则可判断BG垂直平分DF，则DF=2DG，而BE=DF，所以BE=DG=4．

解答：（1）证明：∵△BCE绕点C按顺时针方向旋转得到△DCF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠2=∠1，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
而∠BGD=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG；

（2）证明：∵△BDG∽△DEG，
∴DG：EG=BG：DG，
∴DG²=EG•BG，
∴DG是EG和BG的比例中项；

（3）解：∵DG²=EG•BG=4，
∴DG=2，
∵∠2=∠1，
而∠5=∠4，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DG=GF，
∵BE=DF，
∴BE=2DG，
∴BE=2×2=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应相等的两三角形相似；两个三角形相似的对应角相等，对应边的比相等．也考查等腰三角形的判定与性质和旋转的性质．