Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．
（1）求证：∠OPB=∠AEC；
（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．

（2）解：四边形AOEC是菱形．
证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴=．
∵C为半圆的三等分点，
∴==．
∴∠ABC=∠ECB．
∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又　OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE．
∴四边形AOEC是平行四边形．
又　OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．

证法二：连接OC．
∵C为半圆的三等分点，
∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°．
由（1），得∠POB=90°-∠OPB=60°．
∴∠ECB=30°．
∴∠ABC=∠ECB=30°．
∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又　OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE．
∴四边形AOEC是平行四边形．
又　OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．

证法三：连接OC，则OC=OA=OE．
∵C为半圆的三等分点，
∴∠AOC=60°．
∴△AOC为等边三角形．
∴AC=AO．
∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴=．
∵C为半圆的三等分点，
∴==．
∴AC=CE．
∴AC=CE=OA=OE．
∴四边形AOEC是菱形．
分析：（1）根据题意得PB⊥AB．则∠OPB+∠POB=90°．再由OP⊥BC，得∠ABC+∠POB=90°．即可得出∠ABC=∠OPB．又∠AEC=∠ABC，得∠OPB=∠AEC；
（2）四边形AOEC是菱形．有两种解法：根据题意得出=．再由C为半圆的三等分点，得==．即∠ABC=∠ECB．从而得出AB∥CE，AC⊥BC．AC∥OE，四边形AOEC是平行四边形．又OA=OE，从而得出四边形AOEC是菱形．
点评：本题考查了菱形的性质以及切线的判定，是中考压轴题，难度较大．