Question

12．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC=CP，AB=3$\sqrt{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先由圆周角定理得出∠BAC=90°，再由斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$CD=CE=DE，由CD是切线得出CD⊥OC，即可得出OA⊥AP，周长结论；
（2）先证明△AOC是等边三角形，得出∠ACO=60°，再在Rt△BAC和Rt△ACD中，运用锐角三角函数即可得出结果．

解答 （1）证明：连结AO，AC；如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=90°，
∵E是CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$CD=CE=DE，
∴∠ECA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ECA+∠OCA=90°，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AP，
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，
即OP=2OA，
∴sinP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=3$\sqrt{3}$，∠ACO=60°，
∴AC=$\frac{AB}{tan∠ACO}$=$\frac{3\sqrt{3}}{tan60°}$=3，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°-∠ACO=30°，
∴CD=$\frac{AC}{cos∠ACD}$=$\frac{3}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．