【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.
【答案】
(1)
解:MN是⊙O切线.
理由:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,
∴∠BCM=∠BOC,
∵∠B=90°,
∴∠BOC+∠BCO=90°,
∴∠BCM+∠BCO=90°,
∴OC⊥MN,
∴MN是⊙O切线
(2)
解:
由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,
∴∠AOC=120°,
在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°,
∴BO= OC=2,BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC= ﹣ = ﹣4 .
【解析】(1)MN是⊙O切线,只要证明∠OCM=90°即可.(2)求出∠AOC以及BC,根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可.本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识,解题的关键是记住切线的判定方法,扇形的面积公式,属于中考常考题型.
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【题目】如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使∠FBC=∠DCE.
(1)求证:∠D=∠F;
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹,不写作法).
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【题目】王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?
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【题目】已知不等式组
(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解;
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率.
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【题目】在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
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【题目】初三(1)班共有40名同学,在一次30秒打字速度测试中他们的成绩统计如表:
打字数/个 | 50 | 51 | 59 | 62 | 64 | 66 | 69 |
人数 | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
将这些数据按组距5(个字)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次打字成绩的众数是个,平均数是个.
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