Question

已知点M（p，q）在抛物线y=x²-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x²-2px+q=0的两根．
（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若⊙M与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求p、q的值．

Answer 1

分析：（1）设A、B两点的横坐标分别是x₁、x₂，将AB用|x₁-x₂|表示，再转化为一元二次方程根与系数的关系，用系数p、q来表示，从而得到AB的长度变化情况；
（2）根据y=x²-1，求出C点坐标为（0，-1），根据两点间距离公式求出BC、AC的长，由（1）又知AB的长，然后分类讨论构成等腰三角形的情况，求出p、q的值．

解答：解：（1）设A、B两点的横坐标分别是x₁、x₂，由根与系数的关系知x₁+x₂=2p，x₁•x₂=q，
那么：AB=|x1-x2|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

p2-q

，
又因为M在抛物线y=x²-1上，所以q=p²-1．故AB=2，即⊙M在x轴上截得的弦长不变．

（2）C（0，-1），BC=

x22+1

，AC=

x12+1

，
①当AC=BC，即x₁=-x₂时，p=0，q=-1；
②当AC=AB时，x12+1=4，x1=±

3

，p=1+

3

，q=3+2

3

或p=1-

3

，q=3-2

3

；
③当BC=AB时，x2=±

3

，p=-

3

-1，q=3+2

3

或p=

3

-1，q=3-2

3

．

点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、圆的弦长、两点间的距离公式及等腰三角形的性质等内容，综合性较强，考查了同学们的综合运用能力．