Question

等腰三角形一底角平分线将周长分成168与112两部分，则该三角形腰长为（　　）

• A、80
• B、105或80
• C、105
• D、非上述答案

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形三边关系

专题：分类讨论

分析：过E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，过A作AD⊥BC于D，由三角形面积 S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE，可得

1

2

BC•AD=

1

2

AB•EG+

1

2

BC•EF=

1

2

（AB+BC）•EF，再根据平行线分线段成比例可得EF：AD=EC：AC，从而得到等腰三角形的腰长．

解答：解：如图，等腰三角形，已知周长为L=168+112=280．
设腰长为x，则AB=AC=x，BC=280-2x．
角平分线BE交AC于E，过E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，易知有EF=EG．
过A作AD⊥BC于D，易知AD垂直平分∠BAC，且EF∥AD．
由三角形面积公式，可得S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE，
即

1

2

BC•AD=

1

2

AB•EG+

1

2

BC•EF=

1

2

（AB+BC）•EF，
∴EF：AD=BC：（AB+BC），
又∵EF∥AD，
∴EF：AD=EC：AC，
∴EC=

AC•BC

AB+BC

=

x(280-2x)

280-2x+x

=

x(280-2x)

280-x

，
令y=BC+EC，则EC=y-BC=y-（280-2x）=

x(280-2x)

280-x

，
整理，可得x=

280(280-y)

280+280-y

，
对等腰三角形，若y=112，则280-y=168，代入解得x=105；
若y=168，则280-y=112，代入解得x=80．
故等腰三角形的腰长为105或80．
故选B．

点评：考查了等腰三角形的性质，利用三角形面积得到三角形三边关系，同时考查了平行线分线段成比例的性质．