Question

1．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，D是AB中点，
（1）如图1，写出线段CD线段AB的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点E、F分别是边AC、BC上的动点（不与端点重合），并且始终有AE=CF，连接EF
①画出符合题意的一个图形；
②判断△DEF形状，并说明理由；
③S_{四边形ECFD}面积是否变化？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质可得出CD=BD，AD=CD，由此可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由割补法可知，四边形ECFD的面积保持不变．

解答 解：（1）CD=$\frac{1}{2}$AB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，
∴∠A=∠C=45°．
∵D是AB中点，
∴AD=BD，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠B=45°，∠A=∠°，
∴CD=BD，AD=CD，即CD=$\frac{1}{2}$AB；

（2）①如图所示；
②连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=AD\\∠DCB=∠A\\ AE=CF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；
③不变．
分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，
∴AC=BC=5$\sqrt{2}$．
∵D是AB中点，
∴CM=AM=CN=BN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{正方形CMDN}=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$•$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{25}{2}$．
在Rt△DEM与Rt△DFN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}DE=DF\\ DM=DN\end{array}\right.$，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），
∴四边形ECFD的面积等于正方形CMDN面积，即S_{四边形ECFD}=$\frac{25}{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质以及勾股定理等知识．