Question

1．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=12，AE=5，cos∠BFE=$\frac{3}{5}$，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）先求出BF=DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形；
（2）由三角函数和勾股定理求出FG，得出BC，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC．AB=CD，
∵AE=CF，
∴DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠ABC=90°．
过点E作EG⊥BC于G．
∵∠A=∠ABC=∠BGE=90°，
∴四边形ABGE是矩形．
∴AE=BG=5，AB=EG=12．
∵在Rt△EFG中，cos∠BFE=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{FG}{FE}$=$\frac{3}{5}$．
设FG=3x，EF=5x，
∴EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=4x=12．
∴x=3．
∴FG=3x=9，
∴BC=BG+FG+CF=5+9+5=19．
∴矩形ABCD的周长=19×2+12×2=62．

点评 本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，勾股定理，三角函数等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．