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(2010•苏州)如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设M(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P,PA2+PB2+PM2>28是否总成立?请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了抛物线的顶点坐标,可将抛物线的解析式设为顶点式,然后将B点坐标代入求解即可;
(2)由于M在抛物线的图象上,根据(1)所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式:n=(m-3)2,由于m、n同为正整数,因此m-3应该是3的倍数,即m应该取3的倍数,可据此求出m、n的值,再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去,即可得到M点的坐标;
(3)设出P点的坐标,然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长,进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大(小)值,进而可判断出所求的结论是否恒成立.
解答:解:(1)设y=a(x-3)2
把B(0,4)代入,
得a=
∴y=(x-3)2

(2)解法一:
∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数,其中有3、4,
∴可能的情况有三种:1、2、3、4;2、3、4、5;3、4、5、6,
∵M点位于对称轴右侧,且m,n为正整数,
∴m是大于或等于4的正整数,
∴MB≥4,
∵AO=3,OB=4,
∴MB只有两种可能,∴MB=5或MB=6,
当m=4时,n=(4-3)2=(不是整数,舍去);
当m=5时,n=(不是整数,舍去);
当m=6时,n=4,MB=6;
当m≥7时,MB>6;
因此,只有一种可能,即当点M的坐标为(6,4)时,MB=6,MA=5,
四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6.
解法二:
∵m,n为正整数,n=(m-3)2
∴(m-3)2应该是9的倍数,
∴m是3的倍数,
又∵m>3,
∴m=6,9,12,
当m=6时,n=4,
此时,MA=5,MB=6,
∴当m≥9时,MB>6,
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数,
∴点M的坐标只有一种可能(6,4).

(3)设P(3,t),MB与对称轴交点为D,
则PA=|t|,PD=|4-t|,PM2=PB2=(4-t)2+9,
∴PA2+PB2+PM2=t2+2[(4-t)2+9]
=3t2-16t+50
=3(t-2+
∴当t=时,PA2+PB2+PM2有最小值
∴PA2+PB2+PM2>28总是成立.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定以及二次函数最值的应用,同时还考查了分类讨论的数学思想,难度较大.
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