Question

（2011•衢州）已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l₁，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）解法1：由题意易知：△BOC∽△COA，
∴，
即，
∴，
∴点C的坐标是（0，），
由题意，可设抛物线的函数解析式为，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，
得，
解这个方程组，得，
∴抛物线的函数解析式为．
解法2：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴，
∴点C的坐标是（0，），
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入
函数解析式得，
所以，抛物线的函数解析式为；
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直线l₁的解析式为，直线l₂的解析式为，
抛物线的对称轴为直线x=1，
由此可求得点K的坐标为（﹣1，），
点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0），
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得，，
由顶点D坐标（﹣1，）得，
∴KD=DE=EF=；

（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），
又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l₂与抛物线交于点G，即l₂∥AB时，符合题意，此时点M₁的坐标为（﹣2，），
（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l₂过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M₂坐标为（﹣1，），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．

解析