如图.在直角坐标系中.⊙P与y轴相切于点C.与x轴交于A(x1.0).B(x2,0)两点.其中x1.x2是方程x2-10x+16=0的两个根.且x1<x2.连接BC.AC． (1)求过A.B.C三点的抛物线的解析式, (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QAC的周长最小.若存在求出点Q的坐标.若不存在.请说明理由, (3)点M在第一象限的抛物线上.当△MBC的面积最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂,0）两点，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的两个根，且x₁<x₂，连接BC，AC．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使△QAC的周长最小，若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点Ｍ在第一象限的抛物线上，当△MBC的面积最大时，求点Ｍ的坐标．

【答案】

（1）过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）存在；Q（5，）（3）点M的坐标为（4,2）

【解析】

试题分析：（1）解：解方程x²-10x+16=0，由x₁<x₂_，得

x₁=2,x₂=8

∴A(2,0) B(8,0);

OA=2,OB=8

∵OC切⊙P于点C

∴∠ACO=∠ABC

∴ΔOCA∽OBC

∴OC²=OA·OB=16，OC＞0

∴OC=4 ∴C(0，-4)

设过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8)

∴16a=-4 ∴a=

∴y=(x-2)(x-8)=

(2)存在. ∵A,B两点关于抛物线的对称轴对称，

∴直线BC与对称轴的交点即为点Q.

用待定系数法易求直线BC的解析式为

当时，

∴Q（5，）

（3）过点M作ME⊥BC与E,交轴于点D,作MN⊥CD于N

∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°

∴∠D＝∠OBC＝∠OCA

∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE

∵OA＝2，OC＝4 ∴AC=

而,

∴MN=,DN＝,DM＝

而ON＝

DC＝

∴DE＝

∴ME=DE-DM=－

＝

∴＝·

＝

即当时，ΔBCM的面积最大.

在=中，时，

∴点M的坐标为（4,2）

考点：直线与圆相切，一元二次方程，抛物线

点评：本题考查直线与圆相切，一元二次方程，抛物线，掌握直线与圆相切的概念和性质，会求一元二次方程的解，会用待定系数法求函数解析式

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