Question

有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．说明：RP=RQ．
请探究下列变化：
变化一：交换题设与结论．
已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ．
求证：RQ为⊙O的切线．
变化二：运动探究：
（1）如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断）
（2）如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？
（3）若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？（只需交待判断）

Answer 1

【答案】分析：原命题的证明：连接OQ，利用RQ为⊙O的切线，得出∠OQB+∠PQR=90°，根据半径OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，从而得∠PQR=∠QPR，证明结论；
变化一的证明：与原命题的证明过程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO，再利用互余关系将角进行转化，证明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°即可；
变化二的证明：连接OQ，仿照原命题的证明方法进行．
解答：证明：连接OQ，
∵RQ为⊙O的切线，
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠PQR=∠BPO，
而∠BPO=∠QPR，
∴∠PQR=∠QPR，
∴RP=RQ；
变化一：
证明：∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴RQ为⊙O的切线；
变化二．
（1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立；
（2）原题中的结论还成立．

理由：连接OQ，
∵RQ为⊙O的切线，
∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠RQP=∠BPO，
∴RP=RQ；
（3）原题中的结论还成立，如图．

点评：本题考查了切线的判定与性质．关键是利用圆中的等腰三角形，对顶角相等，互余关系的角证明角相等．