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有这样一道习题:如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明:RP=RQ.
请探究下列变化:
变化一:交换题设与结论.
已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.
求证:RQ为⊙O的切线.
变化二:运动探究:
(1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断)
(2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,原题中的结论还成立吗?为什么?
(3)若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点,请你根据原题中的条件完成图4,并判断结论是否还成立?(只需交待判断)

【答案】分析:原命题的证明:连接OQ,利用RQ为⊙O的切线,得出∠OQB+∠PQR=90°,根据半径OB=OQ及OA⊥OB,得出∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,从而得∠PQR=∠QPR,证明结论;
变化一的证明:与原命题的证明过程相反,由RP=RQ,可知∠PQR=∠QPR=∠BPO,再利用互余关系将角进行转化,证明∠OQB+∠PQR=90°,即∠OQR=90°即可;
变化二的证明:连接OQ,仿照原命题的证明方法进行.
解答:证明:连接OQ,
∵RQ为⊙O的切线,
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°,
又∵OB=OQ,OA⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠PQR=∠BPO,
而∠BPO=∠QPR,
∴∠PQR=∠QPR,
∴RP=RQ;
变化一:
证明:∵RP=RQ,∴∠PQR=∠QPR=∠BPO,
又∵OB=OQ,OA⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠OQB+∠PQR=90°,即∠OQR=90°,
∴RQ为⊙O的切线;
变化二.
(1)若OA向上平移,变化一中的结论还成立;
(2)原题中的结论还成立.

理由:连接OQ,
∵RQ为⊙O的切线,
∴∠OQR=90°,∠BQO+∠RQP=90°,
又∵OB=OQ,OA⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠RQP=∠BPO,
∴RP=RQ;
(3)原题中的结论还成立,如图.

点评:本题考查了切线的判定与性质.关键是利用圆中的等腰三角形,对顶角相等,互余关系的角证明角相等.
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请探究下列变化:
变化一:交换题设与结论.
已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.
求证:RQ为⊙O的切线.
变化二:运动探究:
(1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗?(只需交待判断)
(2)如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,原题中的结论还成立吗?为什么?
(3)若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点,请你根据原题中的条件完成图4,并判断结论是否还成立?(只需交待判断)

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