Question

已知，如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交⊙O于D、E．求证：EB²=CD•AB．

Answer 1

证明：连接AD、DB，
∵AB是圆O的直径，AC切圆O于点A，
∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠C+∠CAB=180°，
∴∠C=90°，∠C=∠ADB，
∵∠CAD=∠DBA，
∴△ACD∽△BDA，
∴=，
∴AD²=CD•AB，
∵CE∥AB，
∴=，
∴AD=EB
∴EB²=CD•AB．
分析：连接AD，BD，由AB为圆的直径，AC为切线，分别得到一对直角相等，再由CE与AB平行，得到一对角互补，确定出∠C为直角，确定出∠C=∠ADB，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ACD与三角形ABD相似，由相似得比例，再根据平行弦所夹的弧相等及等弧对等弦得到AD=EB，等量代换即可得证．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．