Question

80、阅读材料并完成填空：
你能比较两个数2001²⁰⁰²和2002²⁰⁰¹的大小吗？
为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1，且n∈Z）然后，从分析n=1，2，3这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论：
（1）通过计算，比较下列①～④各组中两个数的大小①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴
（2）从第①小题的结果经过归纳，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是

n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2001²⁰⁰²

＞

2002²⁰⁰¹（填＞，=，＜）

Answer 1

分析：（1）算出具体数值进行比较；
（2）通过（1）的结论来做；
（3）通过（2）的结论来做．

解答：解：（1）①1²=1，2¹=2；②2³=8，3²=9；③3⁴=81，4³=64；④4⁵=1024，5⁴=625；故①＜；②＜；③＞；④＞；
（2）由（1）可得结论：n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由（2）的结论可知，2001²⁰⁰²＞2002²⁰⁰¹．

点评：关键在于从简单的特殊的情形入手，从而发现一般规律nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，再应用比较2001²⁰⁰²＞2002²⁰⁰¹．