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    （2012•湛江模拟）已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
    （1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
    （2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
    （3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．
    分析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三点代入即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式；
    （2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
    由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
    （3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S△APD=
    1
    4
    S梯形COAB，得
    1
    2
    OD•y=
    1
    4
    ×56故可求出y的值，由S△APD=
    1
    2
    AP•DH=
    1
    2
    t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；
    （ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S△APD=
    1
    4
    S梯形COAB，得
    1
    2
    AD•y=
    1
    4
    ×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8-
    28
    5
    ）=16
    2
    5
    ，由此可得出点P2的坐标．
    解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
    依题意，得
    c=0
    100a+10b=0
    16a+4b=8
    ，
    解得
    a=-
    1
    3
    b=
    10
    3
    c=0
    ，
    故所求抛物线的解析式为y=-
    1
    3
    x2+
    10
    3
    x；

    （2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
    ∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
    ∴AB=
    		AE2+BE2
    =10．
    解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
    ∵OA•BE=AB•OF，
    ∴OF=
    OA•BE
    AB
    =8，DH=
    1
    2
    OF=4，
    ∴S=
    1
    2
    AP•DH=
    1
    2
    t×4=2t（0≤t≤10）；
    解法二：∵
    S△APD
    S△ABD
    =
    AP
    AB
    ，S△ABD=
    1
    2
    AD•BE=
    1
    2
    ×5×8=20．
    ∴
    S
    20
    =
    t
    10
    ，
    ∴S=2t（0≤t≤10）；

    （3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
    S梯形COAB=
    1
    2
    （BC+OA）•OC=
    1
    2
    ×（4+10）×8=56，
    （ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
    由S△APD=
    1
    4
    S梯形COAB，
    得
    1
    2
    OD•y=
    1
    4
    ×56，解得y=
    28
    5
    ，
    由S△APD=
    1
    2
    AP•DH=
    1
    2
    t×4=14，得t=7．
    此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）2+y2=AP2，即（10-x）2+（
    28
    5
    ）2=72，
    解得x=
    29
    5
    ，即在7秒时有点P1（
    29
    5
    ，
    28
    5
    ）满足题意；
    （ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
    由S△APD=
    1
    4
    S梯形COAB，得
    1
    2
    AD•y=
    1
    4
    ×56，解得y=
    28
    5
    ，
    此时t=10+4+（8-
    28
    5
    ）=16
    2
    5
    ．   即在t=16
    2
    5
    秒时，有点P2（0，
    28
    5
    ）满足题意；
    综上，在7秒时有点P1（
    29
    5
    ，
    28
    5
    ），在16
    2
    5
    秒时有点P2（0，
    28
    5
    ）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．
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