Question

△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点E是BC延长线上的一点，且ED⊥AB，垂足为D，ED与AC交于点H．取AB中点O，连结OH．
（1）若ED=

2

，OD=

1

3

，求HD的长；
（2）若ED=AB，求HD+OH的值．

Answer 1

分析：（1）先由同角的余角相等得出∠A=∠E=90°-∠B，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AHD∽△EBD，根据相似三角形对应边成比例得到

HD

BD

=

AD

ED

，将数据代入，计算即可求出HD的长；
（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x，由△AHD∽△EBD，列出比例式，得到HD=

1-x2

2

，然后在Rt△HOD中，运用勾股定理，求出OH=

OD2+HD2

=

1+x2

2

，进而得到HD+OH=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，ED⊥AB，垂足为D，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠A=∠E=90°-∠B．
在△AHD与△EBD中，

∠ADH=∠EDB=90° ∠A=∠E

，
∴△AHD∽△EBD（AA），
∴

HD

BD

=

AD

ED

，
∴

HD

1- 1 3

=

1+ 1 3

2

，
∴HD=

4 2

9

；

（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x．
由（1）知△AHD∽△EBD，
∴

HD

BD

=

AD

ED

，
∴

HD

1-x

=

1+x

2

，
∴HD=

1-x2

2

．
在Rt△HOD中，∵∠ODH=90°，
∴OH=

OD2+HD2

=

x2+( 1-x2 2 )2

=

1+x2

2

，
∴HD+OH=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中．根据两角对应相等的两三角形相似证明△AHD∽△EBD是解题的关键．