Question

如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AB=3，AD：BD=1：2，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，
∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠B=45°，AC=BD，
∴∠CAD=∠CAO+∠BAO=45°+45°=90°，
∵AB=3，AD：BD=1：2，
∴AD=3×=1，BD=3×=2，
在Rt△ACD中，CD===．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AO=BO，CO=DO，然后根据同角的余角相等求出∠AOC=∠BOD，再利用“边角边”证明△AOC和△BOD全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAO=∠B=45°，全等三角形对应边相等可得AC=BD，然后求出∠CAD=90°，再求出AD、BD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式计算即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，比较简单，熟练掌握等腰直角三角形的性质，得到三角形全等的条件是解题的关键．