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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，精英家教网与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．
    （1）求实数m的值；
    （2）证明：CD的长度是无理方程2
    		x-1
    -x=1的一个根；
    （3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
    分析：（1）本题可根据一元二次方程根与系数的关系，用m表示出AD+AE和AD•AE的值，已知了AD2+AE2=5，将式子进行适当变形后即可求出m值．
    （2）本题的关键是求出CD的长，根据（1）得出的m的值，可求出AD，AE的长，根据切割线定理即可求出AB的长，在直角三角形ABC中，根据切线长定理有CD=CB，而AC=CD+AD，AB的长已求出，因此根据勾股定理即可求出CD的长，进而可判断出CD的长是否为无理方程的一个跟．
    （3）本题的关键是求出D的坐标，可过D作DF⊥AB于F，那么可通过相似三角形求出DF和AF的长，也就能得出D点的坐标，然后根据A、B、D三点的坐标用待定系数法即可求出过这三点的抛物线的解析式．
    解答：（1）解：∵AD、AE是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根，则有：
    AD+AE=m-1，AD•AE=m-2；
    又∵AD2+AE2=5，即（AD+AE）2-2AD•AE=5；
    ∴（m-1）2-2（m-2）=5，即m2-4m=0；
    ∴m1=4，m2=0；
    ∵m≠0，
    ∴m=4．

    （2）证明：将m=4代入方程x2-（m-1）x+m-2=0中，得x2-3x+2=0，
    解之得：x1=2，x2=1；
    而AD、AE为此方程的两根，且AD＞AE．
    ∴AD=2，AE=1
    ∵AD为⊙O的切线，AB为割线．
    由切割线定理，得AD2=AE•AB．
    即22=1•AB；
    ∴AB=4．
    ∵∠B=90°，
    ∴BC为⊙O的切线．
    而CD也为⊙O的切线，
    因此CD=CB．
    在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即42+DC2=（2+CD）2，
    ∴CD=3．
    将CD=3作为x的值代入无理方程2
    		x-1
    -x=1中，得：左边=右边；
    ∴CD的长是无理方程2
    		x-1
    -x=1的一个根．

    （3）解：过D作DF⊥AB于F，精英家教网
    ∴CB⊥BA，
    ∴△AFD∽△ABC，
    ∴
    DF
    BC
    =
    AD
    AC
    ，
    ∴
    DF
    3
    =
    2
    5
    ，
    ∴DF=
    6
    5
    ，
    又∵
    AF
    AB
    =
    AD
    AC
    ，
    ∴AF=
    8
    5
    ，
    ∴BF=4-AF=
    12
    5
    ．
    ∴以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有：
    A（-4，0），B（0，0），D（-
    12
    5
    ，
    6
    5
    ），
    ∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴．
    设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有：
    16a-4b+c=0
    c=0
    (-
    12
    5
    )    2    a-
    12
    5
    b+c=
    6
    5
    ，
    解得
    a=-
    5
    16
    b=-
    5
    4
    c=0
    ，
    ∴过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=-
    5
    16
    x2-
    5
    4
    x．
    点评：本题考查一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、切割线定理、切线长定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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