Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线l：沿x轴翻折后，与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F（点F在点E的右侧）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；

（3）如图2，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为．

      直线与x轴、y轴交点分别为（－2，0），（0，）

     沿x轴翻折，则直线、直线AB与x轴交于同一点（－2，0）

∴A（－2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称

∴B（0，）

∴解得，．

∴直线AB的解析式为 ．

（2）抛物线的顶点为P（h，0），抛物线解析式为：＝．

∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），

又点F在直线AB上，∴．

解得 ，．（舍去）

∴抛物线的解析式为．

                    

（3）过M作MT⊥FH于T，

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．

∴．

设FT＝3k，TM＝4k，FM＝5k．

则FN＝－FM＝16－5k．

∴．

∵＝48，

又．

∴．

解得或（舍去）．

∴FM＝6，FT＝，MT＝，GN＝4，TG＝．

∴M（，）、N（6，－4）．

∴直线MN的解析式为：．

联立与，求得P（1，）； Q（3，0）