Question

设函数y=x²-（2k+1）x+2k-4的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，且线段OA与OB的长度之比为1：3，则k=______．

Answer 1

y=x²-（2k+1）x+2k-4，令y=0，得到x²-（2k+1）x+2k-4=0，
设A（a，0），B（b，0），
可得x²-（2k+1）x+2k-4=0的两个解分别为a，b（a＜0，b＞0），
则有a+b=2k+1，ab=2k-4，
又线段OA与OB的长度之比为1：3，即-a：b=1：3，
∴b=-3a，
∴a-3a=2k+1，a•（-3a）=2k-4，即a=-

1

2

（2k+1）=-k-

1

2

①，-3a²=2k-4②，
①代入②消去a得：-3（-k-

1

2

）²=2k-4，即12k²+20k-13=0，
分解因式得：（2k-1）（6k+13）=0，
解得：k=

1

2

或k=-

13

6

，
∵抛物线开口向上，且对称轴在y轴右边，
∴-（2k+1）＜0，即k＞-

1

2

，故k=-

13

6

舍去，
∴k=

1

2

．
故答案为：

1

2