Question

利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值吗？
（3）若a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，a²+b²+c²=1，求ab+bc+ac的值．

Answer 1

分析：（1）等式右边中括号中利用完全平方公式站那看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由题意求出a-c的值，所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）等式右边=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²）=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）=a²+b²+c²-ab-bc-ac=左边，得证；
（2）当a=2011，b=2012，c=2013时，a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=3；
（3）∵a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，∴a-c=

6

5

，
∵a²+b²+c²=1，
∴ab+bc+ac=a²+b²+c²-

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=1-

1

2

（

9

25

+

9

25

+

36

25

）=-

2

25

．

点评：此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．