Question

1．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=CD，点E、点F分别为线段AD、AB的中点，连接CE、DF，CE与DF相交于点G，连接BG．若DG=2，则线段BG的长为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 延长DF、CB交于点H，过G作LM⊥BC于M，DN⊥BC于N，易证△HBF≌△DAF≌△CDE，得到BH=AD，HF=DF，由△DEG∽△CHG，得出$\frac{DG}{HG}=\frac{DE}{CH}=\frac{1}{6}$，设DE=x，则DC=2x，NC=x，DN=$\sqrt{3}$x，由△HMG∽△HND，得出MG=$\frac{6\sqrt{3}x}{7}$，HN=5x，HM=$\frac{30}{7}$x，BM=$\frac{16}{7}$x，在Rt△HMG中，根据勾股定理求得：x²=7，在Rt△BGM中，BG²=BM²+GM²=$\frac{52}{7}$x²=52，即可得到BG的长．

解答 解：延长DF、CB交于点H，过G作LM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=CD，
∴BC=2AD，
∵点E、点F分别为线段AD、AB的中点，
∴AF=BF=DE，
易证△HBF≌△DAF≌△CDE，
∴BH=AD，HF=DF，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CHG，
∴$\frac{DG}{HG}=\frac{DE}{CH}=\frac{1}{6}$，
设DE=x，则DC=2x，NC=x，DN=$\sqrt{3}$x，
∵△HMG∽△HND，
∴MG=$\frac{6\sqrt{3}x}{7}$，HN=5x，HM=$\frac{30}{7}$x，BM=$\frac{16}{7}$x，
在Rt△HMG中，根据勾股定理求得：x²=7，
在Rt△BGM中，
BG²=BM²+GM²=$\frac{52}{7}$x²=52．
∴BG=2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，通过辅助线构造全等和相似是解决问题的关键．