Question

我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC=2∠C，证明：CD=AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE=BD，连结AE．
（1）请补写完这个证明：
（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，证明：BD=AC-AB．

Answer 1

分析：（1）在CD上截取DE=BD，连结AE，推出AB=AE，根据∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC求出∠C=∠EAC，推出EC=AE=AB，即可得出答案．
（2）证△BAD≌△EAD，推出DE=BD，∠B=∠AED，推出∠C=∠EDC，求出DE=EC=DB，即可得出答案．

解答：（1）证明：在CD上截取DE=BD，连结AE，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠C=∠EAC，
∴EC=AE=AB，
∴CD=CE+DE=AB+BD．

（2）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△EAD中

AD=AD ∠1=∠2 AB=AE

∴△BAD≌△EAD，
∴DE=BD，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=EC=DB，
∵AC-AE=EC，EC=BD，AE=AB，
∴BD=AC-AB．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，关键是能正确作出辅助线．