Question

8．如图所示，在正方形ABCD中，P，Q分别在边BC，CD上，PB+QD=PQ，求证：∠PAQ=45°．

Answer 1

分析 将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，根据旋转的性质可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，然后求出PE=PQ，再利用“边边边”证明△APE和△APQ全等，根据全三角形对应边相等可得∠EAP=∠PAQ，再根据∠BAD=90°即可得到结果．

解答 证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵PB+QD=PQ，
∴PE=PQ，
在△APE和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AQ}\\{PE=PQ}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴∠EAP=∠PAQ，
∴∠DAQ+∠BAP=∠PAQ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．