如图.已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(4.0).另一个交点为A.且与y轴交于点C(0.4)．(1)求直线BC与抛物线的解析式,(2)若点M是抛物线在直线BC下方图象上的一动点.过点M作MH∥y轴交直线BC于点N.求MN的最大值,的条件下.MN取得最大值时.若点P是抛物线在直线BC下方图象上的一点.且△ABP的面积与△ABN的面积相等.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在直线BC下方图象上的一动点，过点M作MH∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在直线BC下方图象上的一点，且△ABP的面积与△ABN的面积相等，直接写出点P的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出N点的坐标，根据△ABP的面积与△ABN的面积相等，它们的底AB相同，高应该相同列出方程，然后解方程组，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入得

4m+n=0

n=4

，
解得

m=-1

n=4

．
所以直线BC的解析式为y=-x+4；
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x²+bx+c，
得

16+4b+c=0

c=4

，
解得

b=-5

c=4

．
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4；

（2）设M（x，x²-5x+4）（0＜x＜4），则N（x，-x+4），
∵MN=（-x+4）-（x²-5x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，MN有最大值 4；

（3）∵MN取得最大值时，x=2，
∴-x+4=-2+4=2，即N（2，2）．
∵△ABP的面积与△ABN的面积相等，
∴△ABP的AB边上的高等于△ABN的AB边上的高，
∴P的纵坐标是2或-2，
将y=2代入y=x²-5x+4；
得x₁=

，x₂=

（不合题意，舍去），
将y=-2代入y=x²-5x+4；
得：x₃=2，x₄=3，
故点P的坐标为P₁（

，2）或P₂（2，-2）或P₃ （3，-2）；

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，面积相等两个三角形同底一定等高等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P的纵坐标是关键．

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