Question

【探究发现】如图１，是等边三角形，，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F．当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；

【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立．

假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC延长线上的任意一点”；“ 点Ｅ是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明．

 

【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE = BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出的值．

Answer 1

(1) 正确画出图形

①第一种情况：当点E在线段BC上时．

证明：在AB上取AG=CE，连接EG．

则是等边三角形

∴∠AGE=，而∠ECF=

∴∠AGE=∠ECF…

∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠GAE+∠B，

∴∠GAE=∠CEF

∴≌(ASA)

∴AE=EF

②第二种情况：当点E在BC延长线上时．

在CF取CG=CE，连接EG．

∵CF是等边三角形外角平分线

∴∠ECF=

∵CG=CE

∴是等边三角形

∴∠FGE=∠ACE=

∵∠AEF=∠AEG+∠GEF=∠AEG+∠AEC=

∴∠GEF=∠CEA…

∴≌(ASA)

∴AE=EF

③第三种情况：当点E在BC的反向延长线上时．

在AB的延长线上取AG=CE，连接EG．

则有BG= BE；∴是等边三角形

∴∠G=∠ECF= 

∵∠CEF=∠AEF-∠AEC=-∠AEC

∠EAB=∠ABC-∠AEC=-∠AEC

∴∠CEF=∠EAB

∴≌(ASA)

∴AE=EF

（2）正确画出图形…

∵CE = BC=AC

∴∠CAE=∠CEA=，∠BAE=

∴

∵AE=EF，∠AEF=

∴是等边三角形

∴∽

∴．