Question

下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：

①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．

其中正确的命题有

1. A.
   只有①②
2. B.
   只有①②④
3. C.
   只有①④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．
②由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．
解答：解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正确；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
只有当H为BM的中点是，OH等于CN的一半，故③错误；
④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质，①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．
②由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，可证得三角形OGC与三角形OHB全等．OHG是等腰直角三角形，可证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，即④式成立．