Question

如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线l的解析式为y=（-1）ⁿx²+bx+c（n为整数）．
（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据-1的奇数次方等于-1，再把点H、C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；
（2）根据-1的偶数次方等于1，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；
（3）分别利用（1）（2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数．

解答：解：（1）n为奇数时，y=-x²+bx+c，
∵l经过点H（0，1）和C（2，1），
∴

c=1 -4+2b+c=1

，
解得

b=2 c=1

，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+1，
y=-（x-1）²+2，
∴顶点为格点E（1，2）；

（2）n为偶数时，y=x²+bx+c，
∵l经过点A（1，0）和B（2，0），
∴

1+b+c=0 4+2b+c=0

，
解得

b=-3 c=2

，
∴抛物线解析式为y=x²-3x+2，
当x=0时，y=2，
∴点F（0，2）在抛物线上，点H（0，1）不在抛物线上；

（3）所有满足条件的抛物线共有8条．
当n为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；
当n为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，要注意（3）抛物线有开口向上和开口向下两种情况．