Question

已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当k=-

3

4

时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）①由题意可得；
②由题意得到关于t的坐标．按照两种情形解答，从而得到答案．
（2）①以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB从而解得．
②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为

36

25

是，h最大．

解答：解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由题意得：C（t，-

3

4

t+3），
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=(x-t)2-

3

4

t+3，
由(x-t)2-

3

4

t+3=-

3

4

x+3，
即（x-t）²+

3

4

（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+

3

4

）=0，
解得x1=t，x2=t-

3

4

．
过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴

DE

AO

=

CD

BA

，
∵AO=4，AB=5，DE=t-(t-

3

4

) =

3

4

，
∴CD=

DE×BA

AO

=

3 4 ×5

4

=

15

16

，
②∵CD=

15

16

，CD边上的高=

3×4

5

=

12

5

，
∴S△COD=

1

2

×

15

16

×

12

5

 =

9

8

，
∴S_△COD为定值．
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为

12

5

，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴

OP

BO

=

OC

BA

，OP=

OC×BO

BA

=

12 5 × 3

5

=

36

25

，
即t=

36

25

，
∴当t为

36

25

秒时，h的值最大．

点评：本题考查了二次函数的综合题，（1）①由题意知P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）代入，分两种情况解答．（2）①以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由△DEC∽△AOB从而解得．②通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为

36

25

时，h最大．从而解答．