Question

如图，已知抛物线y=-

1

6

x²+

1

3

x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．

（1）求A，B，C三点坐标及该抛物线的对称轴；
（2）若点E在x轴上，点P（x，y）是抛物线在第一象限上的点，△APC≌△APE，求E，P两点坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠AMC是钝角？若存在，求出点M的纵坐标n的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令x=0，求出点C的坐标，令y=0求出点A和点B的坐标．
（2）连接AP交OC于F点，设F（0，t），连接EF，由△APC≌△APE，得出AE=AC，得出OE的长即可得出点E坐标，由对称性得EF=CF，利用勾股定理求出t，确定点F的坐标，可求得直线AF的表达式，与抛物线联立得出点P的坐标．
（3）作辅助线以AC为直径画⊙N，交对称轴l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，易得点N的坐标，可求出NQ，NS的长，由勾股定理得SQ，即可得到S，T的坐标，
由圆的知识可得出点M在S，T之间时得∠AMC是钝角．所以得出点M的纵坐标n的取值范围．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

1

6

x2+

1

3

x+8，得y=8，所以C（0，8）．       
由-

1

6

x2+

1

3

x+8=0，解得x=-6，或x=8．
所以点A坐标为（-6，0），点B坐标为（8，0）．   
所以抛物线的对称轴方程是直线x=1．             
（2）如图1，连接AP交OC于F点，设F（0，t），连接EF，

由题意可得AC=10，
∵△APC≌△APE，
∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．
∴OE=10-6=4，点E坐标为（4，0）．
∵AP平分∠CAE，
∴由对称性得EF=CF=8-t．
在Rt△EOF中，OE²+OF²=EF²，
∴4²+t²=（8-t）²，解得t=3．
∴点F坐标为（0，3）．            
设直线AF的表达式y=kx+b（k≠0），
将点A（-6，0），F（0，3）代入，解得

k= 1 2 b=3

，
∴直线AF的表达式y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=- 1 6 x2+ 1 3 x+8

，
解得

x=5 y= 11 2

或

x=-6 y=0

（不符合题意，舍去）．
∴P（5，

11

2

），E（4，0）．      
（3）如图2，以AC为直径画⊙N，交对称轴l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，

∵C（0，8），点A坐标为（-6，0），N为AC的中点，
∴N为（-3，4），
∵抛物线的对称轴方程是直线x=1．
∴NQ=4，NS=5；                  
在Rt△SNQ中由勾股定理得SQ=3，
∴S，T的坐标分别为（1，7）和（1，1），
当M介于S和t之间时，延长AM交⊙N于L，∠ALC=90°，
∠AMC＞∠ALC，
∴∠AMC是钝角，
∴1＜n＜7，
∴点M的纵坐标n的取值范围1＜n＜7．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及全等三角形的性质，一次函数解析式及圆的有关知识．解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用二次函数与方程、几何知识的结合．