精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

新定义：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，则称点（x₀，x₀）为抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上的不动点．设抛物线C的解析式为：y=ax²+（b+1）x+（b-1），（a≠0）
（1）抛物线C过点（0，-3）；如果把抛物线C向左平移 $数学公式$ 个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C的解析式及其上的不动点；
（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？
（3）设a为整数，且满足a+b+1=0，若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，是否存在整数k，使得 $数学公式$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得出：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴抛物线解析式为：y=x²-x-3，
令x=x²-x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴不动点为：（-1，-1）和（3，3）；

（2）∵抛物线C有两个不同的动点，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
整理得：ax²+bx+（b-1）=0，
∵抛物线C有两个不同点，
∴△＞0，
即b²-4a（b-1）＞0，
b²-4ab+4a＞0，
∵b为任意实数，且使得上式成立；
∴必有（-4a）²-4×1×4a＜0，
整理得：a²-a＜0，
从而，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
解得：0＜a＜1，
∴实数a的取值范围应为：0＜a＜1；

（3）由a+b+1=0，得b=-a-1代入抛物线C，得y=ax²-ax-（a+2），
∵x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标，
∴△=a²+4a（a+2）＞0，
解得：a＞0或a＜- $\text{[math]}$ ，
由根与系数的关系得：
x₁+x₂=1，x₁•x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴k=3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a＞0或a＜- $\text{[math]}$ ，且a为整数）
要使k为整数，取a=-4，-3，-1，0，其中a=-1，0不合题意舍去；
∴存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据已知得出b-1=-3，- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可得出a，b的值，进而得出图象上的不动点；
（2）根据抛物线C有两个不同的动点，得出x=ax²+（b+1）x+（b-1），再利用抛物线C有两个不同点，得出△＞0，即b²-4a（b-1）＞0，
由b为任意实数，且使得上式成立；则必有（-4a）²-4×1×4a＜0，进而得出a的取值范围；
（3）首先根据x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标，得出△=a²+4a（a+2）＞0，再利用根据与系数关系，求出a的取值即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和不等式组的解法、根的判别式可计算出等知识，正确得出不等式解集是解题关键．

练习册系列答案

绿色成长互动空间决胜中考模拟卷系列答案

随堂检测系列答案

青苹果同步练习册系列答案

小学生学习指导丛书系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•海宁市模拟）新定义：[k，b]为一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的“关联数”．若“关联数”[1，a-1]的一次函数是正比例函数，则二次函数y=x²-2x+a的顶点坐标是

（1，0）

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”这句话是对还是错？

对

（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=5

、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求（b+c）：a的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源：2013届江西省景德镇市九年级第三次质检数学试卷（带解析） 题型：解答题

新定义：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，则称点(x₀,x₀)为抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为：y=ax²+(b+1)x+(b -1)(a≠0).
（1）抛物线C过点(0，-3)；如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C的解析式及其上的不动点；
（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？
（3）设a为整数，且满足a+b+1=0，若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x₁, x₂，是否存在整数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源：2012-2013学年江西省景德镇市九年级第三次质检数学试卷（解析版） 题型：解答题

新定义：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，则称点(x₀,x₀)为抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为：y=ax²+(b+1)x+(b -1)(a≠0).

（1）抛物线C过点(0，-3)；如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C的解析式及其上的不动点；

（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？

（3）设a为整数，且满足a+b+1=0，若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x₁, x₂，是否存在整数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学